Лидеры

сделали бы проект минимальный, выложили сюда, мы бы открыли на 10.3 и решили бы...

<uses-sdk android:minSdkVersion="%minSdkVersion%" android:targetSdkVersion="%targetSdkVersion%" /> - так по умолчанию указано в AndroidManifest.template.xml в корне проекта, но при редактировании вручную вместо переменных можно указать конкретные значения. Если собирать с помощью Rio, то minSdkVersion = 19, targetSdkVersion = 28. <uses-sdk android:minSdkVersion="конкретное значение" android:targetSdkVersion="конкретное значение" /> - так указано в AndroidManifest.xml после компиляции, на них и реагирует ОС при попытке запуска приложения. Если там указано использование старых sdk, тогда андроид и ругается. Решение простое - перекомпилите в Rio и проблема уйдет.

<uses-sdk android:minSdkVersion="14" android:targetSdkVersion="26" />

а что стоит у вас в targetSdkVersion?

1. Проверь AndroidManifest.template.xml, параметры minSdkVersion и targetSdkVersion 2. Перекомпилируй в Rio (предварительно сделав Revert System Files to Default у узла Target Platforms->Android->Libraries)

Принцип работы Push на разных ОС не отличается если коротко, не обращаем внимание на OS и термины (для ознакомления прошу сюда) Описание технологии GCM и APNs хорошо расписаны на хабре, гораздо более профессионально. Я уж точно ничего нового не внесу.

@Ingalime спасибо за вопросы) 1) Вот есть хорошее описание работы и терминов касательно APNs и GCM, тратить на это время и писать тоже самое не хотелось 2) Реализация серверной и клиентской части есть в статье 3) Что для этого нужно и как настроить есть в предыдущей статье Laravel - это PHP фреймфорк, но выложил код на "чистом" PHP, чтобы каждый мог быстро интегрировать в свой проект, не привязываясь к фреймворкам