Добрый день,
Приложение с GUI нельзя запустить в фоновом режиме. Так как операционная система может его выгрузить в любой момент времени (даже при установленных флагах в манифесте не делать этого).
Для того, чтобы сделать фоновую работу. Используются Андроид Сервисы. Они как раз могут работать в фоновом режиме. Но они пока не поддерживаются в FMX.
Еще есть механизм AlarmManager. Его можно использовать. Суть которого заключается в отложенном выполнении какой-нибудь задачи. Например, вы хотите сделать приложение проверки новых новостей на каком-то ресурсе. Вы можете сделать проверку наличия новых новостей каждый интервал времени. Например, каждые 5 минут, вы проверяете новости. AlarmManager позволяет поставить в очередь ваше задание с указанием либо интервала времени (через который должна вызваться ваша задача) или конкретного времени. При этом не важно, запущено ваше приложение или нет. Вызов происходит не зависимо от этого.