Лидеры

Сдается мне что все очень просто... По крайней мере я данным решением пользовался не раз и оно прекрасно работает. А именно: - во-первых - есть уже на форуме подобное обсуждение, и если мне не изменяет память, то было и еще! - во-вторых: (если очень грубо....) ........... var p : TPointF; function GetMousePos: TPointF; var Platform: IInterface; begin Result.Create(0, 0); Platform := TPlatformServices.Current.GetPlatformService(IFMXMouseService); if Platform <> nil then Result := (Platform as IFMXMouseService).GetMousePos; end; begin p := GetMousePos; ваша_форма.Left := round(p.X); // тут уж вы сами решайте - как вам ее "сдвинуть" ваша_форма.Top := round(p.Y) + ваша_форма.Height; // ну аналогично сдвинуть по вертикали..... ваша_форма.Show; end; только это все грубо. сами решайте что и куда сдвигать и что еще учитывать. Т.е. надо обрабатывать событие OnClick вашей кнопочки, а внутри обработчика то что написано выше. Типа как-то так для вашего случая)

Тут человека писал похожее и у него вроде все решилось: http://www.sql.ru/forum/1127246/obnovil-svoy-nexus-do-andriod-5-i-prilozheniya-na-delphi-perestali-rabotat

Ну без записи в файл/БД сложно себе представить - куда можно сохранить значение, кроме как следующие варианты: если речь идет о Windows - сохраняйте в реестр. если речь о Android - SharedPreferences.

Если речь идет об Android, то смотрим здесь. (Android.JNI.PowerManager функции AcquireWakeLock и ReleaseWakeLock соответственно)

Вам надо сконвертировать абсолютные координаты кнопки в экранные. О том, как это сделать ответ тут: О видах координат в FireMonkey и конвертации между ними

Пока могу только посоветовать статью "Получаем список доступных устройств хранения информации". Важно: Третий метод будет работать на всех версиях Android до 4.3. С версии 4.3 произошли значительные изменения в организации файлов. К сожалению, у меня нет устройства с Android 4.3 чтобы провести анализ и написать код для версий выше 4.3. И второе, приложения, написанные в Делфи, по какой-то причине, не могут прочитать файл mounts. Я предполагаю, что если бы файл можно было прочитать, то код для версий выше 4.3 основывался на чтении этого файла. UPD (25.11.14). Для Android 4.4.* описано тут: Android 4.4 и запись на внешнюю карту памяти...