Ну как простой вариант - посмотрите http://stackoverflow.com/questions/10303256/how-to-take-a-screenshot-with-firemonkey-multi-platforms
Там, конечно, староватое решение (для более ранней версии XE), но в принципе - должно все работать.
Вам только нужно получать не хэндлы рабочего стола, а нужных Вам приложений.
Может кто-то подскажет более правильное решение.