Думаю, логично будет прикрепить сравнительные скриншоты в этому вопросу, чтобы было наглядно виден результат сравнения.
Так же полагаю, вам следует подробнее изучить вопрос печати любых изображений, так как печать изображения никак не связана с FireMonkey.
Постараюсь кратко пояснить.
Вы делаете скриншот любого приложения. И получаете размер изображения в точках. Ровно столько, сколько занимает это изображение в видео памяти. Или другими словами, если размер экрана был 300 х 400 точек, то такое же изображение, такого же качества вы получите. По сути скриншот ничем не отличается от обычного вывода изображения на экран.
Далее вы пытаетесь 300 х 400 точек распечатать на бумаге А1 (В районе: 594 × 841 мм). То есть спроецировать пиксель в физические размеры на бумаге.Или другими словами вы пытаетесь один пиксель вашего скриншота разместить в регион бумаги размером (594/300 ~ 2 мм, 841 / 300 ~ 2,8 мм). То есть в конечном итоге каждая точка вашего изображения займет на бумаге точку с физическим размером 2 мм на 3 мм. Думаю дальше уже понятно, что вот она и потеря качества. Ошибочно полагать, что можно любое изображение без потери качества распечатать на любом формате бумаги. И это не зависит от того, каким образом было сформировано изображение окна.Так как размер все равно будет одинаковым.