Запрашиваете сервис IFMXClipBoardService. У него есть два метода для копирования данных любого типа в буфер и обратно.
uses
FMX.Platform, System.Rtti;
{$R *.fmx}
procedure TForm13.Button1Click(Sender: TObject);
var
Service: IFMXClipBoardService;
begin
if TPlatformServices.Current.SupportsPlatformService(IFMXClipBoardService, Service) then
begin
Service.SetClipboard(TValue.From<string>('My Text'));
// Service.GetClipboard.AsString // Получения строкового значения обратно.
end;
end;
