Заработала с TakePhotoFromCameraAction. Только одна строчка кода для обработчика TakePhotoFromCameraAction1DidFinishTaking
Такие официальные мануалы только мозг пудрит...
Здесь правлений мануал. http://docwiki.embarcadero.com/RADStudio/XE5/en/Mobile_Tutorial:_Taking_and_Sharing_a_Picture_(iOS_and_Android)
И нужно установить Project Options > Entitlements List > Secure File Sharing в значение true. (Этого тоже нету в мануале...)