Нет, не пойдет. Потому что DoOnCloseInfo по прежнему вызывается из внутренностей TButton.Click. Если ваш код отрабатывает на Windows - это ваша недоработка, а не показатель правильности. Причины я изложил выше. А на мобильных платформах с фреймом визуально просто ничего не произойдет. Причины опять-таки изложил выше.
И в таком виде тоже не пойдет.
Потому что Synchronize и Queue, будучи вызванными из главного потока, моментально передают управление в метод, а не дожидаются очередного витка выборки сообщений у Application. В таком виде вы просто добавляете несколько вложенных вызовов, увеличивая занятость стека. Не меняя при этом концепцию работы.